Форум кафедры Техники и Электрофизики Высоких Напряжений

Онлайн-сообщество ТВНщиков
Гостям форума:

Добро пожаловать на форум по технике высоких напряжений!
Для получения доступа ко всем разделам необходимо зарегистрироваться


Текущее время: 12 дек 2019, 13:58

Часовой пояс: UTC + 3 часа




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 23 окт 2009, 23:10 
Не в сети
Site Admin

Зарегистрирован: 03 сен 2008, 16:09
Сообщения: 4290
Откуда: Д-3
Закрепленная на обоих концах струна оттянута вверх и защеплена в точке x = c как показано на рисунке. Требуется найти вертикальное отклонение струны u(x,t) после того она будет отпущена и начнет совершать свободные колебания.

Изображение

Постановка задачи

Уравнение свободных колебаний струны представляет собой волновое уравнение:



где - натяжение струны, - линейная плотность.

Граничные условия:



Начальные условия:



если и если .



Решение

Решая волновое уравнение методом разделения переменных, получим решение в виде следующего ряда:



где - собственные частоты колебаний (спектр дифференциального оператора краевой задачи), - амплитуды свободных колебаний.



Анализ решения

Каждый член полученного ряда представляет собой стоячую волну, при которой точки струны совершают гармонические колебательные движения с амплитудой, зависящей от x, и частотой .

Частота основного тона:

.

Тона, соответствующие более высоким частотам, называются обертонами. Обертоны, частоты которых кратны , называются гармониками.

Из формулы для следует, что амплитуды высших гармоник быстро убывают с увеличением номера гармоники. Их влияние на звук сводится к созданию тембра звука.

Пусть длина струны l = 1 м, а = 659 м^2/с^2. Тогда частота основной гармоники



окажется равной 329,5 Гц, что очень близко к звучанию открытой первой струны шестиструнной гитары (частота ноты "ми" первой октавы составляет 329.63 Гц, таблица соответствия нот и частот находится во вложении). При этих условиях построены анимации решения для различных точек защемления струны.

Анимация решения при (видео 20 с, 4,12 MB)



Анимация решения при (видео 20 с, 4,15 MB)



Анимация решения при (видео 20 с, 4,18 MB)



Обратите внимание, что в последнем случае полностью исчезают четные гармоники. Амплитуды высших гармоник тем больше, чем дальше от центра защеплена струна, что влияет на тембр звука. Это подтвердит каждый, кто когда-либо осознанно играл на гитаре, скрипке, арфе или других струнных музыкальных инструментах.

Программный код Matlab для построения графиков:

Код:
clear
clc
l=1; % длина струны
f1=329.63; % частота ноты "ми" первой октавы
a=2*l*f1;

T=2/f1; % получим решение для первых двух периодов колебаний первой гармоники
dt=T/500; % шаг расчета по времени
t=0:dt:T; % матрица-строка дискретных значений времени
x=0:l/500:l; % матрица-строка дискретных значений координаты

c=0.1*l; % координата точки защепления струны

% выделение памяти под пространственно-временные распределения
U=zeros(length(x),length(t));  % зрительный образ струны
U1=zeros(length(x),length(t)); % первая гармоника
U2=zeros(length(x),length(t)); % вторая гармоника
U3=zeros(length(x),length(t)); % третья гармоника
U4=zeros(length(x),length(t)); % четвертая гармоника
U5=zeros(length(x),length(t)); % пятая гармоника
U6=zeros(length(x),length(t)); % шестая гармоника

N=600; % число учитываемых гармоник
A=zeros(N); % выделение памяти под амплитуды колебаний
w=zeros(N); % выделение памяти под собственные частоты колебаний

% предварительное вычисление амплитуд и собственных частот
for n=1:N,
    A(n)=2*l^2/(pi^2*c*(l-c)*n^2)*sin(n*pi*c/l);
    w(n)=pi*n*a/l;
end

% основной расчетный цикл
for I=1:length(x)
    100*(I/length(x)) % вывод на экран показателя прогресса расчета
    for J=1:length(t)
        for n=1:N
            U(I,J) = U(I,J) + A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
        end
        n=1;
        U1(I,J) = A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
        n=2;
        U2(I,J) = A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
        n=3;
        U3(I,J) = A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
        n=4;
        U4(I,J) = A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
        n=5;
        U5(I,J) = A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
        n=6;
        U6(I,J) = A(n)*cos(w(n)*t(J))*sin(w(n)*x(I)/a);
    end
end

% вывод на график результатов расчета для каждого значения времени и заполнение массива кадров видео-изображения
fig=figure;
set(gca,'xlim',[0 1],'ylim',[-1.2 1.2], 'NextPlot','replacechildren','Visible','on')
mov = avifile('FMO_string_vibration_c01.avi', 'compression','none', 'fps', 25);
for J=1:length(t)
    plot(x,[U(:,J).'; U1(:,J).'; U2(:,J).'; U3(:,J).'; U4(:,J).'; U5(:,J).'; U6(:,J).'],'linewidth',1.5)
    leg = ['t = ' num2str(1e3*t(J), '%4.2f') ' мс'];
    legend(leg)
    xlabel('x, м')
    ylabel('u/h, %')
    title('Колебания струны и первые шесть гармонических составляющих')
    grid on
   
    F = getframe(gcf);
    mov = addframe(mov,F);
end
mov = close(mov);


У вас нет необходимых прав для просмотра вложений в этом сообщении.


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2011, 17:55 
Не в сети
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 19 сен 2011, 00:38
Сообщения: 139
Откуда: Г-101
А вот примерно как в реальной жизни выглядит:
http://www.youtube.com/watch?v=6JeyiM0YNo4
Интересные колебания. :-)

А это интересная иллюстрация стоячих волн:
http://www.youtube.com/watch?v=no7ZPPqtZEg

_________________
"Mathematics is the art of giving the same name to different things." - Jules Henri Poincare


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2011, 18:10 
Не в сети
Site Admin

Зарегистрирован: 03 сен 2008, 16:09
Сообщения: 4290
Откуда: Д-3
nocopyrights писал(а):
А вот примерно как в реальной жизни выглядит:
http://www.youtube.com/watch?v=6JeyiM0YNo4

Решенная задача и то, что видно на видео, соответствуют разным условиям. В первом случае, струна была оттянута, а потом отпущена в свободные колебания. Во втором случае струна изначально была в положении равновесия, а после она прижата движущимся смычком. Характер колебаний при этом отличается.


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2011, 18:19 
Не в сети
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 19 сен 2011, 00:38
Сообщения: 139
Откуда: Г-101
Ну, это я неправильно выразился :oops: , естественно это будут разные колебания. Просто как очень красивая визуализация характера колебаний из жизни. Для нашей задачи вот ничего подобного не нашел.

_________________
"Mathematics is the art of giving the same name to different things." - Jules Henri Poincare


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2011, 18:54 
Не в сети
Site Admin

Зарегистрирован: 03 сен 2008, 16:09
Сообщения: 4290
Откуда: Д-3
Когда мы пытались снять камерой струну, то ставили камеру фронтально к струне, и поэтому струну было плохо видно. А здесь грамотно камера стоит. Попробуем как-нибудь заснять в таком же ракурсе.


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2011, 11:03 
Не в сети
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 19 сен 2011, 00:38
Сообщения: 139
Откуда: Г-101
Даниил Анатольевич, возвращаясь к задаче. Правильно ли определен коэффициент ?
Выкладки чудовищные получаются :head:





_________________
"Mathematics is the art of giving the same name to different things." - Jules Henri Poincare


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2011, 12:38 
Не в сети
Site Admin

Зарегистрирован: 03 сен 2008, 16:09
Сообщения: 4290
Откуда: Д-3
О, Вы TeX освоили, респект :)

В формуле две ошибки. Во-первых, перед обоими интегралами должен быть одинаковый множитель 2/l. Во-вторых, верхний предел интегрирования во втором интеграле должен быть l.


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
 Заголовок сообщения: Re: Колебания защепленной струны
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2011, 16:35 
Не в сети
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 19 сен 2011, 00:38
Сообщения: 139
Откуда: Г-101
Спасибо!

Насчет второго верхнего предела, да :shock:

_________________
"Mathematics is the art of giving the same name to different things." - Jules Henri Poincare


Вернуться к началу
 Профиль Отправить личное сообщение  
Ответить с цитатой  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Часовой пояс: UTC + 3 часа


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB